上一讲：10分钟初中数学课
画树状图或列表求概率（1）
上一讲我们用树状图或表格求两步试验的概率，这一讲加一点点难度。
来看一道例题：
从甲、乙、丙、丁、戊5人中任选2人参加比赛，请问恰好选中甲和乙的概率是多少？
先思考三分钟。
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有答案了吗？
下面一起来看看，怎么解决这道题。
从甲、乙、丙、丁、戊5人中任选2人参加比赛，有多少种等可能结果呢？
有的同学开始嘀咕：“甲和乙，甲和丙......”结果数到最后，也不知道有没有数漏。
这种数法，要想避免重数和漏数，需要一点分类讨论的技巧。
不过，我们还有另一个选择，就是把“从甲、乙、丙、丁、戊5人中任选2人”看作是两步试验，即“选第一个人”和“选第二个人”，这样，就可以画树状图或列表解决了。
先说画树状图。
第一步，写标题：第1人，第2人，结果。
第二步，在“第1人”的下方写上甲、乙、丙、丁和戊，表示选中的第一个人有5种等可能结果。
第三步，在“第2人”的下方，“第1人”的右方，写上乙、丙、丁和戊。
为什么不写甲？因为如果“第1人”选中了甲，那么“第2人”就不可能还选到“甲”。同样的道理，如果“第1人”选中了乙，那么“第2人”也不可能是乙。以此类推，完成整个树状图。
从树状图可看出，从甲、乙、丙、丁、戊5人中任选2人，可以得到20种等可能结果，其中，恰好选中甲和乙的结果有2种，所以概率为2/20，即1/10。
再说列表。
第一步，画一个6×6的表格。
第二步，填写表头、第一行与第一列。
第三步，填写结果。值得注意的是，有5个结果是不合理的，比如(甲，甲），表示“第1人”和“第2人”都是甲，这个结果应该舍去，我们只要在相应的格子画对角线就行。以此类推，完成整个表格。
从表格也可看出，从甲、乙、丙、丁、戊5人中任选2人，可以得到20种等可能结果，其中，恰好选中甲和乙的结果有2种，所以概率为2/20，即1/10。
对比上一讲的例题和这道例题：
1.抛一枚均匀硬币两次，两次正面朝上的概率是多少？
2.从甲、乙、丙、丁、戊5人中任选2人参加比赛，恰好选中甲和乙的概率是多少？
这两题都可以看做是两步试验，但是在解决过程中发现，后者在画树状图和列表时，有些结果需要舍去，而前者就不存在这个现象。
为什么呢？
这是因为，前者在“第1次抛”出现的结果，在“第2次抛”时仍有可能出现，这相当于把结果放了回去；而后者在“第1人”选择的结果，不会再放回去，所以在选“第2人”时，就少了一个选项。我们不妨把像前者这样的问题，称为“放回”型问题；把像后者这样的问题，称为“不放回”型问题。
有的同学可能要问：“我在做题时，要怎样才能分清是放回型，还是不放回型呢？”很简单，先看你要求概率的这件事情，能否看做是两步试验或两步以上的试验，然后看每步试验的结果是否会相互影响。如果有，就是“不放回”型问题；如果没，就是“放回”型问题。
举两个例子：
1.小明准备换装外出。他有3件上衣，分别是红色、*色、白色；有2条裤子，分别是黑色、棕色。请问他选中白色上衣和黑色裤子的概率是多少？
2.小明在洗杯子和杯盖。杯子有3个，其中2个有杯盖，小明洗完后，把杯盖随意盖上，请问所有的杯盖和杯子刚好配套的概率是多少？
分析看看，谁是“放回”型问题，谁是“不放回”型问题？
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有答案了吗？一起来看看。
第1题可以看做是“上衣”和“裤子”的两步试验，而对“上衣”的选择不会影响到对“裤子”的选择，所以这是“放回”型问题。
第2题可以看做是为“第1个杯盖”和“第2个杯盖”选杯子的两步试验，可是，“第1个杯盖”选中的杯子，“第2个杯盖”不会再选，所以两者的结果会相互影响，这是“不放回”型问题。
来看下一道例题：
小明和小红用两个可自由转动的转盘玩游戏，转盘A和转盘B如图。同时转动两个转盘，若停下来出现一红一蓝，则小明胜，否则小红胜。请问这游戏公平吗？
老规矩，3分钟思考。
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好了，一起来看看怎么解决这道例题。
先问一个问题：什么叫“游戏公平”？
有的同学立马举手了：“双方赢的概率都是50%！”
对，但不全对。游戏公平的标准，是游戏双方赢的概率相等，不一定非要50%。就拿剪刀石头布来说，双方赢的概率都不是50%，但依然可以是公平的。
从这个角度看，这道题想要我们做的，就是比较小明和小红赢的概率，然后下结论。
因为有两个转盘，所以可以看做是一个两步试验。有的同学于是画了一个这样的树状图：
对不对呢？不对，因为转盘B出现的结果中，“*色”和“蓝色”的可能性明显不相等。
那怎么办？很简单，根据题意，把转盘B中的蓝色区域等分成两份，记为蓝1、蓝2，这样转盘B出现的结果，就变成了“*色”、“蓝1”和“蓝2”，它们的可能性是相等的。
弄明白了这两点，我们就可以用树状图或表格来解决这道题了。
这道例题告诉我们，在求某些非等可能事件的概率时，可以用等分、编号等方式，将其转化为等可能事件来解决。
再来看一道例题：
抛3枚质地均匀的硬币，都是正面朝上的概率是多少？
看完题目，有的同学就着手准备列表，却发现怎么都列不出来。
为什么？
因为这不是一个两步试验，而是“第1枚”、“第2枚”和“第3枚”组成的三步试验。表格有行、列两个维度，解决两步试验没问题，但是超过两步就无能为力了。
那怎么办？用树状图。
从树状图可见，所有的等可能结果有8种，其中“三枚正面朝上”的结果有1种，所以概率为1/8。
这样看来，对于两步试验的解决，树状图和表格平分秋色；但是如果试验超过两步，就是树状图的天下。
总结
1.画树状图或列表时，要留意问题是“放回”型还是“不放回”型，主要看每一步试验的结果之间时候会相互影响。没影响就是“放回”型，有影响就是“不放回”型。
2.在求某些非等可能事件的概率时，可以用等分、编号等方式，将其转化为等可能事件来解决。
3.对于两步试验的解决，树状图和表格平分秋色；但是如果试验超过两步，就是树状图的天下。